TRANSCENDENTALITATEA AXIOMELOR MATEMATICE

Pentru a descifra artistic si ştiinţific misterul existenţei şi natura abisală a infinitului, Dumnezeu a lăsat omului, pe lângă grupele de bază ale spectului coloristic, pe lângă notele muzicale, pe lângă cuvinte şi cele zece numere (de la zero la nouă).

Cuvântul matematică provine din substantivul grecesc to mathema, -tos care înseamnă învăţătură, studiu, ştiinţă[i]. Din limba greacă veche termenul a fost preluat în latină, iar latinescul mathematica a trecut în limbile moderne. În limba română termenul e preluat prin filieră franceză: matématique.

Cu siguranţă unele abilităţi matematice ale fiinţei umane au existat încă înainte de apariţia scrierii. La primele civilizaţii, matematica era folosită în scopuri concrete: gestionarea recoltelor, comerţ, măsurarea terenurilor, sau predicţii astronomice.

Primele descoperiri matematice din cadrul civilizaţiilor babyloniene, egiptene, chineze sau indiene se reduceau la extragerea rădăcinii pătrate, a rădăcinii cubice, fracţii sau aritmetica numerelor naturale.

Un pas important în istoria matematicii a fost făcut în antichitatea greacă. Aici apar demonstraţia şi gândirea axiomatică, rezumate în secolul al III-lea înaintea erei creştine de către Euclid în lucrarea sa Elementele.

Civilizaţia arabă inventează analiza numerică, combinatorica şi algebra liniară.

În perioada renascentistă textele matematice arabe se traduc în latină, ceea ce va face ca Europa să preia destinele acestei discipline. Descartes dezvoltă calculul algebric. Newton şi Leibniz descoperă concomitent, însă independent, calculul infinitezimal.

În secolul al XVIII-lea şi al XIX-lea se dezvoltă structurile algebrice: Galois teoretizează grupurile, iar Dedekind inelele. Hilbert şi Cantor dezvoltă o teorie axiomatică despre fundamentele matematicii care va duce mai târziu la întemeierea logicii matematice.

În secolul XX apar noi specializări ale domeniului matematic: teoria spectrală, topologii algebrice sau geometria algebrică.

Raportul dintre logică şi matematică a fost dezbătut de cele trei mari programe fundaţioniste:  

1. Logicismul (reprezentat de Frege şi Russel) susţinea că logica şi matematica sunt o singură ştiinţă, logica fiind disciplina fundamentală a matematicii, din care sunt deductibile toate ramurile ei.

Originile logicismului se află în opera lui Georg Cantor, care, prin teoria mulţimilor, a unificat structurile matematicii cu logica claselor. În acest fel există doar o singură ştiinţă formală, deoarece ramurile matematicii devin ramuri ale logicii. Principalele lucrări ale logicismului sunt: Fundamentele aritmeticii a lui Frege şi Principia mathematica a lui Russel.

2. Intuiţionismul care se originează în opera lui Kronecker şi Poincare. Principalele opere intuiţioniste sunt cele ale lui Brouwer şi Heyting.

Intuiţioniştii susţin că logica şi matematica sunt două ştiinţe complet diferite. Astfel, logica este doar un instrument formal al matematicii, în timp ce matematica are o fundamentare intuitivă. Brouwer preia de fapt în această teză ideile lui Kant din Critica raţiunii pure, care susţinea că aritmetica are o natură intuitivă şi că este legată de intuiţia internă, adică de timp.

Într-un sens istoric şi mai îndepărtat, tezele intuiţioniste au fost lansate de Aristotel, care arată că între număr şi timp există o unitate de principiu.

În Fundamentele aritmeticii, Frege a contestat unitatea dintre număr şi timp, afirmând că numărul este independent de timp (numărul este un concept atemporal), nu are o întemeiere intuitivă ci una intelectuală[ii].

Logicismul acceptă infinitul actual şi deci numerele transfinite ale lui Cantor, susţinând că numărul este atemporal după cum atemporal este şi infinitul actual (eonul, îngerul).

Pentru intuiţionişti însă, numărul fiind o entitate temporală, el nu poate fi niciodată infinit actual[iii].

Alt element esenţial al intuiţionismului va fi respingerea principiului terţului exclus pentru entităţile infinite. Brouwer susţine că nici o demonstraţie care se referă la infinit nu poate să folosească principiul terţului exclus şi demonstraţia prin reducere la absurd.

Intuiţionismul spune cu alte cuvinte, că principiul terţului exclus nu se aplică pentru infinit. Din acest motiv, intuiţioniştii fac o altă logică şi o altă analiză matematică fără infinit actual.

3. Formalismul (reprezentat de Hilbert). În privinţa infinitului, Hilbert are poziţii apropiate de cele intuiţioniste. De asemenea, în acord cu intuiţionismul şi în opoziţie cu logicismul, afirmă că matematica şi logica sunt discipline diferite. Mergând pe linie kantiană, Hilbert susţine că infinitul este o idee regulativă a raţiunii[iv].

Pentru Kant, conceptele totale (sufletul, lumea, Dumnezeu) cărora le-ar corespunde psihologia, cosmologia şi teologia, nu pot surveni niciodată într-o experienţă dată şi din acest motiv ele nu pot deveni obiecte de cercetare ştiinţifică. Tot astfel şi pentru Hilbert, infinitul nu poate fi obiect al aritmeticii, căci el este concept total similar celui de Dumnezeu.

Hilbert consideră că aritmetica trebuie întemeiată pe numere finite, de aici denumirea de finitism care a fost dată programului hilbertian. Matematica este pentru Hilbert o structură de semne, ea nefiind nici intuitivă, nici conceptuală, ci pur şi simplu sintactică.

Consecinţele acestor programe fundaţionale au fost extrem de fecunde în dezvoltarea matematicii. Logicismul a dezvoltat logica matematică, iar logica intuiţionistă a stat la baza logicii polivalente a lui Lukasievici. Formalismul a avut un rol foarte important în articularea axiomaticii moderne.

În definitiv, amintitele programe au încercat să rezolve problema infinitului. Infinitul este de trei feluri:

–         ­­Infinitul potenţial (temporalitatea, omul);

–         Infinitul actual determinat (adică cel eonic, regnul angelic);

–         Infinitul absolut (eternitatea, Dumnezeu)[v].

Relevanţa fundamentelor matematicii pentru teologie este una de ordin epistemologic. Cercetările din fundamentele matematicii arată că niciodată conceptele totale identificate de Kant nu pot deveni obiecte ale studiului ştiinţific. În teoria mulţimilor se arată că aceste concepte totale generează paradoxul (de pildă conceptul de mulţime a tuturor mulţimilor generează paradoxul lui Cantor). Acest lucru înseamnă că matematica nu poate aborda decât Infinitul potenţial şi Infinitul actual şi că Infinitul absolut (Infinitul teologic) este în realitate supramatematic şi supralogic.

Concluziile cercetărilor fundaţionale matematice arată supraraţionalitatea Infinitului absolut, dar şi limitele de principiu ale matematicii în faţa trancendenţei. De fapt, rezultatele teoriei mulţimilor sunt identice cu cele ale teologiei apofatice[vi].

Cele mai importante cercetări legate de transcedentalitatea conceptelor matematice sunt cele ale lui Frege, care arată natura atemporală a numerelor şi a Infinitului. Un număr nu poate surveni niciodată în experienţă (nu ne putem întâlni niciodată cu numărul trei în piaţă sau în laborator).

Pe de altă parte, numărul nu poate fi doar o construcţie mentală, deoarece acest lucru atrage după sine nişte paradoxuri.

Prezentăm aici două dintre ele:

Primul paradox este cel al temporalităţii. În matematică există mulţimi care sunt infinite în act. Procesele mentale sunt însă temporale, în timp ce infinitul în act presupune o depăşire a timpului. Se pune în acest caz întrebarea: cum poate o maşină temporală (creierul) să construiască concepte supratemporale, cum sunt mulţimile actual infinite (ex. Mulţimea numerelor reale, complexe, etc.)?

Pe de altă parte, mulţimile infinit actuale nu sunt cu adevărat construibile pentru că orice construcţie matematică nu poate fi decât infinit potenţial, în timp ce aceste mulţimi numerice depăşesc infinitul potenţial. Concluzia este următoarea: mulţimile actual infinite sunt obiective şi neconstruibile. Obiectivitatea lor însă este una sensibilă, nu inteligibilă, iar Frege a fost cel care a arătat, în concordanţă cu Platon, că obiectivitatea este un concept mai larg decât cel de experienţă şi că există şi o obiectivitate inteligibilă, nu numai sensibilă. Această obiectivitate inteligibilă a fost denumită în istoria gândirii transcendentalitate.

Atemporalitatea şi identitatea numerelor arată că ele nu sunt constructe mentale şi că au o obiectivitate trancendentă.

Altă opinie logică şi matematică este dată de paradoxul celor trei lumi, inspirat din ideile lui Popper şi formulat de Roger Penrose[vii].

Există trei lumi: universul matematic care este universul posibilului, universul fizic, care este cel real şi universul culturii care este şi el ideal, dar uman.

Contradicţia este evidentă: dacă lumea fizică este mai restrânsă decât cea matematică şi dacă lumea culturii, implicit lumea teoriilor ştiiţifice este mai restrânsă decât cea fizică (realitatea), cum ajunge un fragment al lumii fizice, care este creierul, să construiască universul matematic la care lumea fizică este subordonată?

Dacă omul este creatorul universului matematic, înseamnă că el este şi creatorul legilor lumii fizice8, care-i guvernează şi activitatea cerebrală. Astfel, creierul şi-ar produce propriile legi, ajungându-se la o circularitate cauzală.

La paradoxul celor trei lumi există următorul răspuns:

1. Universul matematic nu este creaţia omului, nu este creaţia creierului. Creierul ascultă de legi matematice, deci nu le poate genera;

2. Un organ material, cum este creierul, nu poate din principiu să aibă acces la universul matematic, care este trancendental. Faptul că omul poate face matematică şi că are acces la un univers inteligibil, arată că el nu este identic cu creierul său. Cum ar putea o masă de neuroni, o bucată de carne ondulată, înghesuită într-o cutie de os, să se plimbe prin spaţiile Inteligibilului?

 

Lector Univ. Dr. Vasile Chira

Facultatea de Teologie „Andrei Şaguna”, Sibiu


[i] Din aceeaşi familie lexicală cu verbul manthanein (a învăţa) şi cu adjectivul mathematikos care se traduce cu studios, îndemânat la învăţătură.

[ii] Practic, în spatele acestor dispute, se ascund cunoscutele tensiuni metafizice, pe de o parte dintre Platon şi Aristotel, iar pe de alta dintre Kant şi Hegel.

[iii] Intuiţionismul acceptă numai Infinitul potenţial.

[iv] La Kant, sufletul, lumea şi Dumnezeu sunt concepte regulative, spre deosebire de categorii, care sunt concepte constitutive.

[v] Despre speciile infinitului, vezi pe larg la Florin Octavian, Ontologia Infinitului, Castalia, anuar de arte speculative, vol I (Infinitul), ed. Eikon, Cluj-Napoca, 2003, p. 14-30.

[vi] Ibidem, Digresiune matematică, p. 46-59. A se vedea şi scrisoarea lui Cantor despre mulţimile absolut infinite, adresată lui Dedekind.

[vii] Roger Penrose (n. 1931, Essex, Anglia) este fizician şi mathematician britanic, cunoscut pentru contribuţiile sale din fizica matematică, relativitate şi cosmologie, însă a făcut cercetări şi de filosofia minţii.

8 Afirmaţia lui Stephen Hawking că teoriile fizicii fac inutilă ideea de creator al Universului, Bing-Bang-ul fiind o consecinţă inevitabilă a legilor fizice, ar putea fi corectă ştiinţific însă nu şi metafizică. 

Published in: on Octombrie 29, 2010 at 9:26 am  Lasă un comentariu  
Tags:

The URI to TrackBack this entry is: https://vasilechira.wordpress.com/2010/10/29/transcendentalitatea-axiomelor-matematice/trackback/

RSS feed for comments on this post.

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile despre tine sau dă clic pe un icon pentru autentificare:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare / Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare / Schimbă )

Fotografie Google+

Comentezi folosind contul tău Google+. Dezautentificare / Schimbă )

Conectare la %s

%d blogeri au apreciat asta: